Чувствительность систем автоматического управления. Примеры моделирования, практической реализации и применений

Аналитический расчет НИ представляет собой довольно сложную задача и в полной мере может проводиться с помощью ЭВМ.

Для каскадов на БТ возможна аналитическая оценка НИ для случая малых нелинейностей (U вх одного порядка с φ T =25.6 мВ) .

Обычно уровень НИ характеризуется коэффициентом гармоник K г . Суммарный коэффициент гармоник равен

где K г 2 и K г 3 соответственно коэффициенты гармоник по второй и третьей гармоническим составляющим (составляющими более высокого порядка можно пренебречь ввиду их относительной малости).

Коэффициенты гармоник K г 2 и K г 3 , независимо от способа включения БТ, определяются из следующих соотношений:

где B - фактор связи (петлевое усиление).

Данные выражения учитывают только нелинейность эмиттерного перехода и получены на основе разложения в ряд Тейлора функции тока эмиттера I э =I э 0 exp(U вх /φ T ).

Фактор связи зависит от способа включения транзистора и вида обратной связи. Для каскада с ОЭ и ПООСТ имеем:

где R г - сопротивление источника сигнала (или R вых предыдущего каскада); R ос R ос =0).

Для каскада с ОЭ и ∥ООСН

где R экв =R к ∥R н , R ос

Для каскада с ОК

где R экв =R э ∥R н (см. подраздел 2.8).

Для каскада с ОБ

Коэффициенты гармоник K г 2 и K г 3 , независимо от способа включения ПТ, определяются из следующих соотношений:

где A - коэффициент, равный второму члену разложения выражения для нелинейной крутизны в ряд Тейлора, равный

A =I си /U ² отс ,

где I си и U отс см. рисунок 2.33.

Фактор связи B зависит от способа включения транзистора и вида ООС. Для каскада с ОИ и ПООСТ имеем:

B = S 0 (R ос + r и ),

где R ос - сопротивление ПООСТ (см. подраздел 3.2, в случае отсутствия ПООСТ R ос =0).

Для каскада с ОИ и ∥ООСН имеем:

B = S 0 R г R экв /R ос ,

где R экв =R с ∥R н , R ос - сопротивление ∥ООСН (см. подраздел 3.4).

Для каскада с ОС

B = S 0 (R экв + r и ),

где R экв =R с ∥R н (см. подраздел 2.11).

Для каскада с ОЗ

B = S 0 ((R г ∥R и ) + r и ).

В приведенных выше выражениях r и - сопротивление тела полупроводника в цепи истока, r и ≈1/S си , где S си - см. подраздел 2.10, для маломощных ПТ r и =(10…200) Ом; R и - см. рисунок 2.38.

Приведенные соотношения для оценки K г дают хороший результат в случае малых нелинейностей, в режиме больших нелинейностей следует воспользоваться известными машинными методами , или обратиться к графическим методам оценки НИ .

8.2. Расчет устойчивости УУ

Оценку устойчивости УУ, представленного эквивалентным четырехполюсником, описываемым Y-параметрами, удобно проводить с помощью определения инвариантного коэффициента устойчивости :

При k><1 - потенциально неустойчив, т.е. существуют такие сочетания полных проводимостей нагрузки и источника сигнала, при которых возможно возникновение генерации.

Устойчивость усилителя с учетом проводимости нагрузки и источника сигнала определяется следующим соотношением:

При k>1 усилитель безусловно устойчив, при k<1 - неустойчив, k=1 соответствует границе устойчивости.

Эквивалентные Y-параметры усилителя определяются, согласно методике подраздела 2.3, в заданных точках диапазона рабочих частот. Использование инвариантного коэффициента устойчивости особенно удобно при машинном анализе УУ. Другие методы оценки устойчивости описаны в .

8.3. Расчет шумовых характеристик УУ

Шумы в УУ в основном определяются шумами активных сопротивлений и усилительных элементов, расположенных во входных каскадах. Наибольший вклад в мощность шума, создаваемого усилительным каскадом, вносит усилительный элемент. Наличие собственных источников шумов ограничивает возможность усиления слабых сигналов.

В зависимости от природы возникновения, собственные шумы транзистора подразделяются на тепловые, дробовые, шумы токораспределения, избыточные и т.д.

Тепловые шумы обусловлены беспорядочными перемещениями свободных носителей заряда в проводниках и полупроводниках, дробовые - дискретностью заряда носителей (электронов и "дырок") и случайным характером инжекции и экстракции их через p-n-переходы. Шум токораспределения вызывается флуктуациями распределения тока эмиттера на токи коллектора и базы. Все вышеперечисленные виды шумов имеют равномерный спектр.

Природа избыточных шумов до конца еще не выяснена. Обычно их связывают с флуктуациями состояния поверхности полупроводников. Спектральная плотность этих шумов обратно пропорциональна частоте, что послужило поводом для названия их шумами типа 1/f. Еще их называют фликкер-шумами, шумами мерцания и контактными шумами. Шумы типа 1/f сильно возрастают при дефектах в кристаллической решетке полупроводника.

Наиболее весомый вклад в мощность шумов усилительных элементов вносят тепловые шумы.

Шумы активных элементов можно представить в виде источника напряжения (рисунок 8.1а) или источника тока (рисунок 8.1б).

Рисунок 8.1. Эквивалентные схемы активного шумового сопротивления

Соответствующие значения ЭДС и тока этих источников следующие (см. подраздел 2.2):

где Δf - полоса рабочих частот; k =1,38·10 -23 - постоянная Больцмана; T - температура в градусах Кельвина; R ш - шумовое сопротивление, G ш - шумовая проводимость, G ш =R ш -1 .

Для стандартной температуры Т=290°K эти формулы можно упростить:

Спектральные плотности шумов по напряжению и току составляют :

где , - дифференциалы от среднеквадратичных напряжений и токов шумов как случайных функций времени t, действующих в полосе пропускания df.

Любой активный элемент можно представить шумящим четырехполюсником (рисунок 8.2) и по данным формулам рассчитать его шумовые характеристики.

Рисунок 8.2. Шумящий четырехполюсник

В приведены выражения для шумовых параметров БТ и ПТ нормированных спектральных плотностей шумов по напряжению R ш =F RU /4kT , по току G ш =F RI /4kT и взаимной спектральной плотности F ш , представляющих собой соответственно шумовое сопротивление, шумовую проводимость и взаимную спектральную плотность шумов.

Для БТ, включенного по схеме с ОЭ:

R ш = r б + 0,2I б r б 2 + 0,02I к S 0 -2 ,

G ш = 0,2I б + 0,02I к g 2 S 0 -2 ,

F ш = 1 + 0,02I б r б + 0,02I к gS 0 -2 ,

где I б и I к в миллиамперах, g и S 0 в миллисименсах. При учете фликкер-шумов для частот f≥10Гц в данных выражениях следует принять:

I" б = (1 + 500/f )I б ,

I" к = (1 + 500/f )I к .

Для ПТ, включенного с ОИ:

R ш = 0,75/S 0 ,

G ш = R ш ω ²C² зи = 40R ш f ²C ² зи,

F ш = 1 + ωC зи R ш = 1 + 6,28·C зи R ш .

Данные формулы применимы и для других схем включения транзисторов.

Полагая равномерным спектральные плотности шумов, согласно можно получить выражение для коэффициента шума каскада:

F = (R г + R ш + G ш R г + 2F ш R г )/R г .

Исследуя это выражение на экстремум, определяем оптимальное сопротивление источника сигнала R г opt , при котором коэффициент шума каскада F минимален:

При этом в большинстве случаев оказывается, что R г opt не совпадает с R г , оптимальным с точки зрения получения необходимой f в каскада (R г opt >R г ). Выходом из данной ситуации является включение между первым и вторым каскадами цепи противошумовой коррекции (рисунок 8.3).

Рисунок 8.3. Простая противошумовая коррекция

Введением противошумовой коррекции добиваются повышения коэффициента передачи каскадов в области ВЧ (путем внесения корректирующей цепью затухания на НЧ и СЧ), компенсируя тем самым спад усиления на ВЧ за счет высокоомного R г opt .

Приближенно параметры противошумовой коррекции можно определить из равенства ее постоянной времени RC постоянной времени τ в некорректированного каскада.

Расчет шумов каскадно соединенных четырехполюсников (многокаскадного усилителя) обычно сводится к расчету коэффициента шума входной цепи и входного каскада. Первый каскад в таком усилителе работает в малошумящем режиме, а второй и другие каскады в обычном режиме.

Расчет шумов в общем случае представляет собой сложную задачу, решаемую с помощью ЭВМ. Для ряда частных случаев шумовые параметры могут бить рассчитаны по соотношениям, приведенным в .

8.4. Анализ чувствительности

Чувствительностью называется реакция различных устройств на изменение параметров ее компонент.

Коэффициент чувствительности (функция чувствительности или просто чувствительность ) представляет собой количественную оценку изменения параметров устройства (в т.ч. и АЭУ) при заданном изменении параметров его компонент.

Необходимость расчета функции чувствительности возникает при необходимости учета влияния на характеристики АЭУ факторов окружающей среды (температуры, радиации и т.д.), при расчете требуемых допусков на параметры компонент, при определении процента выхода ИМС, в задачах оптимизации, моделирования и т.д.

Функция чувствительности S i параметра устройства y к изменению параметра компонента x i определяется как частная производная

Данное выражение получено на основе разложения в ряд Тейлора функции нескольких переменных , где

Пренебрегая частными производными второго и более порядка, получаем связь функции чувствительности и отклонения параметра :

Существуют разновидности функции чувствительности:

◆ абсолютная чувствительность , абсолютное отклонение при этом равно ;

◆ относительная чувствительность , относительное отклонение равно ;

◆ полуотносительные чувствительности , .

Выбор вида функции чувствительности определяется видом решаемой задачи, например, для комплексного коэффициента передачи относительная чувствительность равна относительной чувствительности модуля (действительная часть) и полуотносительной чувствительности фазы (мнимая часть):

Для простых схем вычисление функции чувствительности может осуществляться прямым дифференцированием схемной функции, представленной в аналитическом виде. Для сложных схем, получение аналитического выражения схемной функции представляет собой сложную задачу, возможно применение прямого расчета функции чувствительности через приращения. В этом случае необходимо проводить n анализов схемы, что для сложных схем весьма нерационально.

Существует косвенный метод расчета чувствительности по передаточным функциям, предложенный Быховским . Согласно этому методу, функция чувствительности, например, прямого коэффициента передачи равна произведению функций передачи с входа схемы до элемента, относительно которого ищется чувствительность, и передаточной функции "элемент - выход схемы" (рисунок 8.4а).

Рисунок 8.4. Косвенный метод расчёта функций чувствительности

Так как расчет функции чувствительности сводится к расчету передаточных функций, то для их нахождения возможно применение, например, обобщенного метода узловых потенциалов. Косвенный метод расчета по передаточным функциям позволяет находить функции чувствительности более высоких порядков. На рисунке 8.4б проиллюстрировано нахождение функции чувствительности второго порядка. В общем же существует n! путей передачи сигнала, каждый из которых содержит n+1 сомножителей.

Ниже описывается метод расчета функции чувствительности, сочетающий прямой метод дифференцирования и косвенный по передаточным функциям, позволяющий за один анализ находить чувствительность к n элементам схемы . Рассмотрим данный способ на примерах получения выражений для абсолютной чувствительности первого порядка S-параметров электронных схем, описанных матрицей проводимости [Y].

В матричном представлении характеристики электронных схем, в том числе и параметры рассеяния [S], определяются в виде отношений алгебраических дополнений матрицы [Y] (см. подраздел 7.2). Изменяемый параметр входит при этом в некоторые элементы алгебраических дополнений. Определение функции чувствительности сводится в этом случае к нахождению производных от отношений алгебраических дополнений (или алгебраических дополнений и определителя) по элементам, в которых содержится изменяемый параметр. В случае, когда изменяемый параметр входит в элементы дополнений определителя функционально, чувствительность определяется как сложная производная.

Для определения производных алгебраических дополнений по изменяемым параметрам входящих в них элементов воспользуемся теоремой, утверждающей, что производная определителя по какому-либо элементу равна алгебраическому дополнению этого элемента. Доказательство теоремы основано на разложении определителя по Лапласу

Общее выражение для S-параметров через алгебраические дополнения имеет вид (см. подраздел 7.2)

S ij = k ij Δ ji /Δ – δ ij .

Определим функции чувствительности параметров рассеяния к пассивному двухполюснику y o включенному между произвольными узлами k и l (см. рисунок 8.5а)

Рисунок 8.5. Расчёт чувствительности S-параметров

S S ij y 0 = dS ij /dy 0 = k ij (Δ ji (k +l )(k +l ) Δ – Δ (k +l )(k +l ) Δ ji )/Δ² = –k ij Δ j (k +l ) Δ (k +l )i /Δ² = –k ij [(Δ jk – Δ jl )(Δ ki – Δ li )]/Δ²

При получении данного и последующих выражений используются следующие матричные соотношения :

Δ (i+j )(k+l ) = Δ i (k+l ) + Δ j (k+l ) = (Δ ik – Δ il ) + (Δ jk – Δ jl ),

Δ ij Δ kl – Δ il Δ kl = ΔΔ ij,kl .

Для электронных схем, содержащих БТ, моделируемые ИТУТ (см. подраздел 2.4.1), определим чувствительность S-параметров к проводимости управляющей ветви g э =1/r э и параметру управляемого источника a включенных соответственно между узлами k, l, и p, q (рисунок 8.5б):

S S ij gэ = dS ij /dg э = k ij [(Δ ji (k +l )(k +l ) Δ + αΔ ij (k +l )(p +q ))Δ – (Δ (k +l )(k +l ) Δ+αΔ (k +l )(p +q ) Δ ij ])/Δ² = –k ij Δ (k +l )i (Δ j (k +l ) + αΔ j (p +q ))/Δ² = –k ij (Δ ki – Δ li )[(Δ jk – Δ jl )+ α(Δ jp - Δ jq )/Δ²,

S S ij α = dS ij /d α = k ij (Δ ji (k +l )(p +q ) Δ – Δ (k +l )(p +q ) Δ ji )/Δ² = –k ij Δ j (p +q ) Δ (k +l )i /Δ² = –k ij [(Δ jp – Δ jq )(Δ ki – Δ li )]/Δ².

Если электронная схема содержит ПТ, моделируемые ИТУН (см. подраздел 2.4.1), то чувствительность параметров рассеяния к крутизне S, включенной между узлами p, q при узлах управления k, l (рисунок 8.5в), равна

S S ij S = dS ij /dS = k ij (Δ ji (k +l )(p +q ) Δ – Δ (k +l )(p +q ) Δ ji )/Δ² = –k ij Δ j (k +l ) Δ (p +q )i /Δ² = –k ij [(Δ jk – Δ jl )(Δ pi – Δ qi )]/Δ².

Чувствительность параметров рассеяния к любому Y-параметру подсхемы (рисунок 8.5г), например, y kl , будет равна

S S ij ykl = dS ij /dy kl = k ij (Δ ji,kl Δ – Δ kl Δ ij )/Δ² = –k ij Δ jl Δ ki /Δ².

При известной чувствительности y kl к параметру элемента подсхемы x (см. рисунок 8.5г) чувствительность S-параметров полной схемы к этому параметру, в соответствии с понятием сложной производной, выразится как

S S ij x = (dS ij /dy kl )(dy kl /dx ) = S S ij ykl ·S y kl x .

Последнее выражение указывает на возможность применения метода подсхем при анализе чувствительности сложных электронных схем.

Зная связь параметров рассеяния с вторичными параметрами электронных схем (K U , Z вх , Z вых и др.) и чувствительность параметров рассеяния к изменению элементов схемы, возможно нахождение функций чувствительности вторичных параметров к изменению этих элементов. Например, для коэффициента передачи по напряжению с i-го на j-й узел K ij =S ji /(1+S 11) чувствительность к изменению параметра x (полагая, что S ij =f (x ) и S ii =φ(x )) получаем

S K ij x = dK ij /dx = [S S ij x (1 + S ii ) – S S ii x S ij ]/(1 + S ii )².

Аналогично для Z вх (вых ) (Z ii (jj )) имеем

Z ii (jj ) = Z г (н ) ·(1 + S ii (jj ))/(1 – S ii (jj ));

S Z i i (jj ) x = dZ ii (jj ) /dx = –2Z г (н ) ·S S i i (jj ) x ·S ii (jj ) /(1 – S ii (jj ))².

Данный способ столь же эффективно может быть использован при определении чувствительности более высоких порядков для всевозможных характеристик электронных схем. Реализация полученных таким образом алгоритмов расчета чувствительности сводится к вычислению и перебору соответствующих алгебраических дополнений, что хорошо сочетается с нахождением других малосигнальных характеристик электронных схем.

8.5. Машинные методы анализа АЭУ

В подразделе 2.3 приведена основная идея обобщенного метода узловых потенциалов, на основе которого были получены большинство соотношений для эскизного расчета усилительных каскадов. Однако наряду с несомненными достоинствами данного метода (простота программирования, малая размерность получаемой матрицы проводимости Y , n*n, где n- количество узлов схемы без опорного), данный метод имеет ряд существенных недостатков. В первую очередь следует отметить невозможность представления в виде проводимости некоторых идеальных моделей электронных схем (короткозамкнутых ветвей, источников напряжения, зависимых источников, управляемых током и т.д.). Кроме того, представление индуктивности проводимостью неудобно при временном анализе схем, что связано с преобразованием Лапласа (оператор Лапласа p должен быть в числителе для того, чтобы система алгебраических уравнений и полученная в результате преобразования система дифференциальных уравнений имела одинаковые коэффициенты).

В настоящее время наибольшее распространение получили топологические методы формирования системы уравнений электрической цепи, наиболее общим из которых является табличный .

В этом методе все уравнения, описывающие цепь, включаются в общую систему уравнений, содержащую уравнения Кирхгофа для токов, напряжений и компонентные уравнения.

Уравнения Кирхгофа для токов можно представить в виде

AI в = 0,

где A - матрица инценденции , описывающая топологию цепи, I в - вектор тока ветвей.

Уравнения Кирхгофа для напряжений имеют вид

V в – A t V п = 0,

где V в и V п - соответственно, вектора напряжений ветвей и узловых потенциалов, A t - транспонированная матрица инценденции A .

В общем случае уравнения, описывающие элементы цепи, можно представить в следующей форме:

Y в B в + Z в I в = W в ,

где Y в и Z в - соответственно, квазидиагональные матрицы проводимости и сопротивления ветвей, W в - вектор, куда входят независимые источники напряжения и тока, а также начальные напряжения и токи на конденсаторах и индуктивностях.

Запишем приведенные уравнения в следующей последовательности:

V в – A t V п = 0;

Y в B в + Z в I в = W в ;

AI в = 0;

и представим в матричной форме

или в общем виде

Табличный метод имеет главным образом теоретическое значение, поскольку наряду с основным достоинством, выражающимся в том, что возможно нахождение всех токов и напряжений ветвей и узловых потенциалов, имеет ряд существенных недостатков. В первую очередь следует отметить избыточность метода, приводящую к большой размерности матрицы T . Далее следует отметить, что многие идеальные управляемые источники приводят к появлению лишних переменных. Например, входной ток управляемых напряжением источников тока и напряжения, а также входное напряжение управляемых током источников тока и напряжения равны нулю, но в данном методе они рассматриваются как переменные.

В практическом плане чаще всего используется модификация табличного метода - модифицированный узловой метод с проверкой .

Идея данного метода заключается в разделении элементов на группы; одна группа сформирована из элементов, которые описываются помощью проводимостей, для элементов второй группы такое описание невозможно. Поскольку через токи ветвей первой группы можно выразить напряжения ветвей, а напряжения ветвей через узловые потенциалы, то можно исключить из табличных уравнений все напряжения ветвей, а для элементов первой группы еще и токи ветвей. При введении дополнительных уравнений для токов в ветвях с элементами второй группы производится проверка на наличие заранее известных (нулевых) переменных. В результате такого преобразования получим уравнения модифицированного узлового метода с проверкой

или в общем виде

T m X=W ,

где n - размерность матрицы проводимости Y n 1 элементов первой группы (n - число узлов схемы без нулевого); m - число дополнительных уравнений для элементов второй группы; J n - вектор независимых источников тока; I 2 - вектор токов ветвей элементов второй группы; W 2 - вектор, куда входят независимые источники напряжения, а также начальные напряжения и токи на конденсаторах и индуктивностях, представленных элементами второй группы.

Для упрощения программирования обычно представляют матрицу коэффициентов системы уравнений модифицированного узлового метода T m в виде суммы двух матриц размерностью (n+m)*(n+m)

T m = G + pC .

В матрицу G вносят все активные проводимости и коэффициенты, соответствующие частотно-независимым элементам, а в матрицу C - все частотнозависимые элементы, причем индуктивности обычно представляют элементом второй группы, т.е. сопротивлением. Далее находят решение данной системы уравнений, используя алгоритмы Гаусса-Жордана либо L/U-разложения .

При частотном анализе электронных схем оператор p заменяется на jω , организуется цикл по частоте, внутри которого для каждой частотной точки формируется система уравнений, которая решается относительно интересующих напряжений и токов.

При временном анализе линейных электронных схем возможно непосредственно использовать модифицированную узловую форму уравнений

(G + pC )X = W .

После перехода во временную область получим

Gx + Cx" = W ,

Cx" = W – Gx .

Решение полученной системы дифференциальных уравнений находится путем численного интегрирования. Одними из эффективных методов численного интегрирования являются методы, опирающиеся на линейные многошаговые формулы , к простейшим из которых относятся формулы Эйлера (прямая и обратная) и формула трапеций.

Разбив временной интервал на конечное число отрезков h и положив t n +1 =t n +h , для каждого момента времени t n можно найти приближение x n к истинному решению x (t n ) путем применения линейных многошаговых формул:

x n +1 = x n + hx" n (прямая формула Эйлера);

x n +1 = x n + hx" n +1 (обратная формула Эйлера);

x n +1 = x n + (h /2)(x" n + x" n +1) (формула трапеций).

Нахождение x" n +1 для (n+1)-го шага вычислений возможно путем применения прямой формулы Эйлера.

Поскольку напряжение на конденсаторе и ток, протекающий через него связаны соотношением i=CdV/dt, а для индуктивности имеем V=Ldi/dt, то применение обратной формулы Эйлера равноценно переходу от емкостей и индуктивностей к их эквивалентным схемам, показанным на рисунке 8.6, в результате чего цепь становится резистивной. Такие модели индуктивности и емкости носят название сеточных (сопровождающих, дискретных) моделей .

Рисунок 8.6. Сеточные модели для обратной формулы Эйлера

Отыскание рабочей точки или расчет по постоянному току является первым шагом при нелинейном анализе УУ. Анализ характеристик по постоянному току схем, содержащих нелинейные сопротивления, сводится к решению системы нелинейных уравнений вида f(x)=0 .

Поскольку законы Кирхгофа применимы не только к линейным, но и к нелинейным элементам, для формирования системы уравнений f(x) возможно использование уже рассмотренных табличных методов. Структура получаемых табличных уравнений будет рассмотрена ниже.

Для решения системы нелинейных уравнений f(x) применяется метод Ньютона-Рафсона . Метод предусматривает использование начального приближения x 0 , проведение итерационной процедуры и, если величина |(x n +1 –x n )/x n +1 | достаточно мала, констатацию факта сходимости (n- количество итераций):

x n +1 = x n – J -1 f (x n ),

где J - якобиан (матрица Якоби) размерностью (m*m)

В процессе итерационной обработки данной системы уравнений на каждом этапе итерации могут быть получены значения f (x n ) и J ; это эквивалентно решению линейного уравнения в форме

J (x n +1) – x n ) = –f (x n ).

Другими словами, решение нелинейных уравнений можно интерпретировать как повторное решение линейных уравнений на каждом этапе итерационного процесса.

Структура якобиана внешне совпадает с табличными уравнениями линейных цепей, которые преобразованы с учетом расчета по постоянному току - убраны конденсаторы и закорочены катушки индуктивности.

Пусть табличные уравнения заданы в следующей форме:

V в – A t V п = 0;

p (V в ,i в ) = W ;

AI в = 0;

Система уравнений p (V в ,i в ) = W определяет связь между токами и напряжениями ветвей в неявной форме, некоторые из этих зависимостей могут быть линейными.

Матрица Якоби на n-й итерации будет иметь вид

где ; где .

Для формирования якобиана возможно использование различных модификаций табличного метода, в том числе и модифицированного узлового с проверкой. Результат анализа схемы по постоянному току (режим по постоянному току) может быть использован в качестве начального приближения при временном анализе нелинейных электронных схем.

Нелинейные уравнения легко включаются в уравнения цепи, составленные табличным или модифицированным узловым методом. Линейные элементы, как и прежде, линейными компонентными уравнениями. Для нелинейных уравнений характерны уравнения в неявной форме, хотя иногда нелинейности можно описать и в явной форме. Нелинейные емкости и индуктивности лучше всего описывать с помощью дополнительных переменных - электрических зарядов и магнитных потоков соответственно, которые должны быть введены в вектор неизвестных. Если это проделать, то уравнения, записанные как табличным, так и модифицированным узловым методами можно представить в следующем виде:

f (x" , x , W , t ) ≣ Ex" + Gx +p (x ) = 0,

где E и G - постоянные матрицы, а все нелинейности сведены в вектор p(x) .

Полученная система дифференциальных уравнений решается путем интегрирования с использованием формулы дифференцирования назад и алгоритма Ньютона-Рафсона, для чего формируется якобиан. В целом структура якобиана для линейной и нелинейной цепи идентична, отличие между ними в том, что нелинейная емкость (индуктивность) будет представлена двумя уравнениями, а заряд q (поток f) станет еще одним неизвестным. Однако и для линейных емкостей и индуктивностей можно ввести заряды и магнитные потоки в качестве переменных, что приведет к совпадению якобиана и матрицы системы уравнений. Любая нелинейная проводимость появится в якобиане аналогично линейной проводимости в матрице C модифицированного узлового метода. Таким образом становится возможным единый подход к формированию и решению уравнений линейных и нелинейных цепей с целью получения их временных и частотных характеристик, что и успешно реализуется в современных пакетах схемотехнического проектирования.

Более подробно перечисленные методы, а также другие вопросы анализа электронных цепей приведены в . В описан один из пакетов схемотехнического проектирования Electronics Workbench.

В разд. 2.4 были указаны основные положения этого вычислительного метода, позволяющего получить частные производные (коэффициенты влияния параметров) по соответствующим параметрам системы. Эти производные можно определить одновременно с решением исходного дифференциального уравнения.

Диапазон приложения метода, основанного на изучении чувствительности (влияния) параметров, шире, чем методов оценивания параметров. Мейссингер приводит следующий список возможных применений:

а) Предсказание решений в окрестности известного решения путем линейной экстраполяции.

б) Определение допусков для параметров с помощью линейного прогнозирования, выделение критических параметров.

в) Приложения к статистическим исследованиям: оценивание влияния случайных параметров системы или начальных условий, экстраполяция результатов, полученных при случайных входных сигналах.

г) Оптимизация параметров системы градиентными методами в соответствии с определенным критерием качества.

д) Анализ чувствительности решения к ошибкам ЭВМ.

е) Определение границ области устойчивости системы.

ж) Изменение постоянных времени различных процессов; изменение времени нарастания, времени оседания.

з) Решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Мы ограничимся обсуждением применения этого метода к оцениванию параметров объекта.

Методы, основанные на изучении влияния (чувствительности) параметров

Выделим теперь основные положения метода, использующего функции влияния параметров. Рассмотрим следующее неоднородное линейное дифференциальное уравнение относительно

с начальными условиями

Требуется получить решение при конкретных значениях параметров Рассмотрим пока для наглядности только один параметр; тогда будет функцией двух переменных, например По кривой решения, полученной при значении параметра путем экстраполяции по можно найти близкую кривую, соответствующую

Необходимое для удовлетворительной аппроксимации число членов в этом разложении зависит от величины и поведения решения и его частных производных по в интересующей нас области. Здесь будет рассматриваться только аппроксимация с точностью до членов первого порядка.

Частная производная являющаяся функцией называется коэффициентом влияния или функцией чувствительности параметра первого порядка. Другими коэффициентами влияния, относящимися к уравнению (9.67), являются

Два последних члена характеризуют чувствительность к изменениям начальных условий. Дифференцируя (9.67) по и учитывая, что и зависят от получаем

Меняя порядок дифференцирования и используя обозначение приходим к дифференциальному уравнению для

с начальными условиями

следующими из того, что начальные значения постоянны и не зависят от Уравнение (9.70) известно как уравнение чувствительности системы относительно параметра При небольших изменениях из этого уравнения можно получить информацию о приближенном значении градиента Это уравнение нетрудно промоделировать, заменяя частные производные полными:

(приближенное уравнение чувствительности). Причина того, что это уравнение является всего лишь приближени

ем состоит в том, что соотношение между частной и полной производивши имеет вид

Следовательно, уравнение (9.71) является хорошим приближением, если изменения параметров во времени достаточно малы.

Аналогичным образом можно вывести приближенные уравнения чувствительности относительно Для четырех рассматриваемых параметров получаем

Каждое из этих уравнений можно промоделировать с помощью отдельной модели чувствительности (см. блок-схему на фиг. 9.8). В рассматриваемом линейном случае все приближенные уравнения чувствительности оказываются одинаковыми, если не считать различий в правых частях. Это значит, что функции чувствительности параметров можно последовательно определять на одной и той же модели, используя соответствующий «связывающий член» или и. Дальнейшие упрощения получаются, если учесть, что, согласно формулам (9.73а), (9.736),

согласно формулам (9.73в), (9,73г),

а сравнение формулы (9.67) с (9.73в) и (9.73г) дает

Таким образом, достаточно промоделировать уравнение (9.736) и воспользоваться соотношениями (9.74)-(9.76) для одновременного получения функций чувствительности всех четырех параметров (фиг. 9.9, б). Такая схема практической реализации требует существенно меньших затрат, чем схема, соответствующая фиг. 9.8.

Если начальные условия и также являются параметрами, представляющими интерес, то легко видеть, что в соответствующих уравнениях чувствительности «связывающий член» вообще отсутствует. При получаем однородное дифференциальное уравнение

с начальными условиями

Это уравнение решается просто путем повторного использования основной модели при тождественно равной нулю управляющей функции и и соответственно измененных начальных условиях.

Применения метода влияния параметров не ограничены линейными сиртемами. В качестве примера нелинейной системы рассмотрим уравнение

Уравнения чувствительности имеют вид

Опять уравнения различаются только «связывающими членами». Следовательно, можно последовательно использовать одну и ту же модель с управляющими функциями Рассмотренную задачу можно обобщить на систему дифференциальных уравнений с параметрами

Уравнения чувствительности относительно из которых определяются производные записываются в виде

Начальные условия нулевые, если только начальные условия исходного дифференциального уравнения не рассматриваются как параметры. Приведенная формулировка справедлива как для линейных, так и для нелинейных систем. Для изучения влияния отдельного параметра приходится моделировать (или программировать) всю систему уравнений чувствительности (9.81), даже если этот параметр явно входит лишь в одно уравнение исходной системы (9.80). Если, например, входит только в член то в уравнении чувствительности появляется «связывающий член» тогда как при Тем не менее все остальные уравнения чувствительности содержат в неявной форме в виде членов и оказываются связанными с уравнением.

Еще одна область применений обнаруживается при исследовании эффекта исключения производных более

высокого порядка из дифференциального уравнения. Допустим, что изучается уравнение

Нужно выяснить влияние члена третьего порядка

Уравнения чувствительности относительно и имеют вид

Следовательно, и из модели чувствительности можно получить значение коэффициента влияния этого параметра в окрестности

До сих пор в этом разделе рассматривались абсолютные функции чувствительности параметров, например Иногда удается использовать относительные функции чувствительности, например

Метод с использованием точек чувствительности

В предыдущем разделе было установлено, что для одновременного определения нескольких функций чувствительности, помимо модели объекта, необходим еще ряд дополнительных моделей чувствительности. Это связано с усложнением аналоговой вычислительной схемы или с увеличением машинного времени, необходимого для решения Подобных задач.

С другой стороны, в разд. 9.1 было показано, что при использовании обобщенной модели дополнительных моделей чувствительности не нужно - функции чувствительности могут быть измерены непосредственно. Это объясняется линейностью обобщенной модели относительно параметров.

Учитывая желательность максимально возможного упрощения схемы моделирования и сокращения машинного

времени, имеет смысл изучить типы моделей, позволяющих находить наиболыпее число функций чувствительности (из числа подлежащих определению). Для этой цели используется так называемый метод точек чувствительности .

Основную его идею можно пояснить следующим образом. Рассмотрим линейный объект с передаточной функцией зависящей от параметров Преобразование Лапласа от входного сигнала есть тогда выходной сигнал определяется формулой

Выход соответствующей модели имеет вид

Учитывая дифференцируемость -преобразования по параметрам, получим

(абсолютные) функции чувствительности параметра

относительные функции чувствительности параметра

Следующий пример помогает проиллюстрировать эту идею (фиг. 9.10, а, б). Для модели справедливы соотношения

Отсюда для относительных функций чувствительности получаем

В результате приходим к схеме фиг. 9.10, б. называются точками чувствительности. При аналоговом

Фиг. 9.10. (см. скан)

моделировании обе функции чувствительности можно измерять одновременно, при цифровых вычислениях обе функции определяются по одной и той же программе.

Эту идею можно распространить на многоконтурные системы с обратной связью (фиг. 9.11). Здесь предполагается, что в каждом из элементарных блоков имеется лишь один параметр, для которого нужно вычислить функцию чувствительности. Так же как и раньше, нетрудно показать, что является точкой чувствительности для параметра из блока Остается рассмотреть вопрос

(кликните для просмотра скана)

о том, каким образом параметр входит в передаточную функцию Он решается введением дополнительной передаточной функции

Это логарифмическая передаточная функция чувствительности, введенная ранее Боде . Входом служит сигнал, снимаемый с точки чувствительности выходом -

Некоторые частные случаи:

В этом случае сигнал с есть функция чувствительности и нет необходимости в добавлении каких-либо элементов в модель чувствительности (фиг. 9.9, б и 9.10, б).

б) Если т. е. передаточная функция, является произведением двух передаточных функций, из которых лишь одна содержит представляющий для нас интерес параметр, то

т. е. совпадает с передаточной функцией той части модели, которая содержит

Эти идеи можпо также распространить на функции чувствительности высших порядков, например

которые получаются очевидным образом из функций чувствительности первого порядка. Оказывается, что в этом случае необходима еще одна модель чувствительности.

Разумеется, анализ чувствительности использовался также и для описания объектов во временной области. Обзор соответствующей литературы можно найти в работе . Много интересных статей содержат два сборника Докладов симпозиумов ИФАК по чувствительности .

Непрерывные настраиваемые модели

Рассматриваемая здесь схема приведена на фиг. 9.12. Ошибка определяется как

где некоторый функционал. Необходимо минимизировать критерий который можно записать как функционал от четной функции

Настройка модели осуществляется изменением параметров в соответствии со значением градиента

Компоненты вектора градиента определяются дифференцированием:

причем представляет собой коэффициент влияния параметра. Теперь можно определить следующий

оператор:

откуда получаем

Как указывалось в предыдущем разделе, множество операторов зависящих от параметра а и действующих на сигнал и, позволяет получить все функции чувствительности параметров.

Пример. Воспользуемся результатами работы . Объект и модель описываются соответственно уравнениями

Уравнение чувствительности получается в результате дифференцирования уравнения модели:

где а а считается постоянной. Применим в качестве критерия условие минимума

и будем использовать для настройки метод наискорейшего спуска

поскольку от а зависит только

Поведение схемы настройки модели описывается формулами (9.98)-(9.102). Из-за ограничения, требующего постоянства а в (9.102), эти формулы позволяют лить приближенно описать изменения а, когда эти изменения происходят достаточно медленно. В работе исследованы вопросы сходимости для случаев, когда вход и является ступенчатым или синусоидальным сигналом. В первом случае можно доказать устойчивость точки равновесия

Второй случай приводит к уравнениям Матье, которые могут иметь как (асимптотически) устойчивые, так и периодические и неустойчивые решения.

При изучении устойчивости применялся второй метод Ляпунова: см. , а также работы, цитировавшиеся в предыдущем разделе.

Отметим, что функции чувствительности параметров играют роль вспомогательных переменных по аналогии с изложенным в гл. 6 и 7 для случая дискретных сигналов.

Примеры моделирования, практической реализации и применений

Хотя работа и не имеет прямого отношения к оценке параметров, ее можно упомянуть как еще один пример использования коэффициентов влияния параметров. Исследуемая система изображена на фиг. 9.13. Параметры объекта (например, изменение угловой скорости самолета по оси тангажа от отклонения управляющих поверхностей) изменяются. Эти изменения компенсируются

настройкой параметров и в контуре обратной связи. Желаемые показатели системы «объект + цепь обратной связи» устанавливаются эталонной моделью, представляющей собой фиксированную аналоговую схему. Целью настройки является минимизация некоторого четного функционала от ошибки Это означает, что.

Такой результат получается генерированием коэффициентов влияния параметров эталонной модели вместо соответствующих коэффициентов охваченного обратной связью объекта. Если фиксированы, такой подход имеет то преимущество, что генерируемые коэффициенты влияния параметров представляют собой требуемые частные производные. (Это не верно для рассматривавшейся выше схемы настройки модели.)

Прерывистая настройка моделей

Как отмечалось в разд. 9.2, для непрерывных схем настройки трудно выявить свойства сходимости. Это объясняется прежде всего сложностью определения градиента при изменении (настройке) параметров модели. Рассмотрим теперь схемы, в которых параметры модели остаются постоянными при определении градиента. После интервала измерений производится настройка параметров модели, затем вновь начинается период измерений и т. д.

Чувствительностью называется реакция различных устройств на изменение параметров ее компонент.

Функция чувствительности параметра устройства y к изменению параметра компонента определяется как частная производная

Данное выражение получено на основе разложения в ряд Тейлора функции нескольких переменных , где

Существуют разновидности функции чувствительности:

¨ абсолютная чувствительность , абсолютное отклонение при этом равно ;

¨ относительная чувствительность , относительное отклонение равно ;

¨ полуотносительные чувствительности , .

Общее выражение для S-параметров через алгебраические дополнения имеет вид (см. подраздел 7.2)

Определим функции чувствительности параметров рассеяния к пассивному двухполюснику включенному между произвольными узлами k и l (см. рисунок 8.5а)

При получении данного и последующих выражений используются следующие матричные соотношения :

Для электронных схем, содержащих БТ, моделируемые ИТУТ (см. подраздел 2.4.1), определим чувствительность S-параметров к проводимости управляющей ветви и параметру управляемого источника a включенных соответственно между узлами k, l, и p, q (рисунок 8.5б):

Передаточная функция реального объекта P(s) может изменяться в процессе функционирования на величину ДP(s),например, вследствие изменения нагрузки на валу двигателя, числа яиц в инкубаторе, уровня или состава жидкости в автоклаве, вследствие старения и износа материала, появления люфта, изменения смазки и т.п. Правильно спроектированная система автоматического регулирования должна сохранять свои показатели качества не только в идеальных условиях, но и при наличии перечисленных вредных факторов. Для оценки влияния относительного изменения передаточной функции объекта ДP/P на передаточную функцию замкнутой системы Gcl

y(s) = r(s), Gcl(s) = (8)

найдём дифференциал dGcl:

Поделив обе части этого равенства на Gcl и подставив в правую часть Gcl = PR/(1+PR), получим:

Рисунок 17 - Оценка запаса по усилению и фазе для системы с годографом, показанным на рисунке 15

Из (10) виден смысл коэффициента S - он характеризует степень влияния относительного изменения передаточной функции объекта на относительное изменение передаточной функции замкнутого контура, то есть S является коэффициентом чувствительности замкнутого контура к вариации передаточной функции объекта. Поскольку коэффициент S = S(jщ) является частотно-зависимым, его называют функцией чувствительности .

Как следует из (10),

Введём обозначение:

Величина T называется комплементарной (дополнительной) функцией чувствительности , поскольку S + T = 1. Функция чувствительности позволяет оценить изменение свойств системы после замыкания обратной связи. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы равна G = PR, а замкнутой Gcl = PR/(1+PR), то их отношение Gcl/G = S. Аналогично для разомкнутой системы передаточная функция от входа возмущений d на выход замкнутой системы равна (см. ) P(s)/(1 + P(s)R(s)), а разомкнутой - P(s), следовательно, их отношение также равно S. Для передаточной функции от входа шума измерений n на выход системы можно получить то же отношение S.

Таким образом, зная вид функции S(jщ) (например, рисунок 18), можно сказать, как изменится подавление внешних воздействий на систему для разных частот после замыкания цепи обратной связи. Очевидно, шумы, лежащие в диапазоне частот, в котором |S(jщ)| > 1, после замыкания обратной связи будут усиливаться, а шумы с частотами, на которых |S(jщ)| < 1, после замыкания обратной связи будут ослаблены.

Наихудший случай (наибольшее усиление внешних воздействий) будет наблюдаться на частоте максимума Ms модуля функции чувствительности (рисунок 18):

Максимум функции чувствительности можно связать с запасом устойчивости sm (рисунок 15). Для этого обратим внимание на то, что |1 + G(jщ)| представляет собой расстояние от точки [-1, j0] до текущей точки на годографе функции G(jщ). Следовательно, минимальное расстояние от точки [-1, j0] до

функции G(jщ) равно:

Сопоставляя (13) и (14), можно заключить, что sm = 1/Ms. Если с ростом частоты модуль G(jщ) уменьшается, то, как видно из рисунка 15, (1- sm) ? 1/gm. Подставляя сюда соотношение sm = 1/Ms, получим оценку запаса по усилению, выраженную через максимум функции чувствительности:

Аналогично, но с более грубыми допущениями можно записать оценку запаса по фазе через максимум функции чувствительности :

Например, при Ms = 2 получим gm ? 2 и? 29°.

Рисунок 18 - Функции чувствительности для системы с годографами, показанными на рисунке 13

Робастность - это способность системы сохранять заданный запас устойчивости при вариациях её параметров, вызванных изменением нагрузки (например, при изменении загрузки печи меняются её постоянные времени), технологическим разбросом параметров и их старением, внешними воздействиями, погрешностями вычислений и погрешностью модели объекта. Используя понятие чувствительности, можно сказать, что робастность - это низкая чувствительность запаса устойчивости к вариации параметров объекта.

Если параметры объекта изменяются в небольших пределах, когда можно использовать замену дифференциала конечным приращением, влияние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы можно оценить с помощью функции чувствительности (10). В частности, можно сделать вывод, что на тех частотах, где модуль функции чувствительности мал, будет мало и влияние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы и, соответственно, на запас устойчивости.

Для оценки влияния больших изменений параметров объекта представим передаточную функцию объекта в виде двух слагаемых:

P = P0 + ДP, (17)

где P0 - расчётная передаточная функция, ДP - величина отклонения от P0, которая должна быть устойчивой передаточной функцией. Тогда петлевое усиление разомкнутой системы можно представить в виде G = RP0 + RДP = G0 + RДP. Поскольку расстояние от точки [-1, j0] до текущей точки A на годографе невозмущённой системы (для которой ДP = 0) равно |1 + G0| (рисунок 19), условие устойчивости системы с отклонением петлевого усиления RДP можно представить в виде:

|RДP| < |1+G0|,

где T - дополнительная функция чувствительности (12). Окончательно можно записать соотношение:

которое должно выполняться, чтобы система сохраняла устойчивость при изменении параметров процесса на величину ДP(jщ).

Сокращение нулей и полюсов. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы G = RP является произведением двух передаточных функций, которые в общем случае имеют и числитель, и знаменатель, то возможно сокращение полюсов, которые лежат в правой полуплоскости или близки к ней. Поскольку в реальных условиях, когда существует разброс параметров, такое сокращение выполняется неточно, то может возникнуть ситуация, когда теоретический анализ приводит к выводу, что система устойчива, хотя на самом деле при небольшом отклонении параметров процесса от расчётных значений она становится неустойчивой.

Поэтому каждый раз, когда происходит сокращение полюсов, необходимо проверять устойчивость системы при реальном разбросе параметров объекта.

Рисунок 19 - Пояснение к выводу соотношения (18)

Вторым эффектом сокращения полюсов является появление существенного различия между временем установления переходного процесса в замкнутой системе при воздействии сигнала уставки и внешних возмущений. Поэтому необходимо проверять реакцию синтезированного регулятора при воздействии не только сигнала уставки, но и внешних возмущений.

Безударное переключение режимов регулирования. В ПИД-регуляторах могут существовать режимы, когда их параметры изменяются скачком. Например, когда в работающей системе требуется изменить постоянную интегрирования или когда после ручного управления системой необходимо перейти на автоматический режим. В описанных случаях могут появиться нежелательные выбросы регулируемой величины, если не принять специальных мер. Поэтому возникает задача плавного («безударного») переключения режимов работы или параметров регулятора. Основной метод решения проблемы заключается в построении такой структуры регулятора, когда изменение параметра выполнятся до этапа интегрирования. Например, при изменяющемся параметре Ti = Ti (t) интегральный член можно записать в двух формах:

I(t) = или I(t) = .

В первом случае при скачкообразном изменении Ti (t) интегральный член будет меняться скачком, во втором случае - плавно, поскольку Ti (t) находится под знаком интеграла, значение которого не может изменяться скачком.

Аналогичный метод реализуется в инкрементной форме ПИД-регулятора (см. подраздел «Инкрементная форма цифрового ПИД-регулятора») и в последовательной форме ПИД-регулятора , где интегрирование выполняется на заключительной стадии вычисления управляющего воздействия.

a , А. И. Голиков a , Е. В. Хорошилова b

Аннотация: Рассматривается функция чувствительности, порожденная задачей выпуклого программирования, исследуются ее свойства монотонности, субдифференцируемости, замкнутости. Устанавливается связь с парето-оптимальным множеством оценок задачи многокритериальной выпуклой оптимизации. Выясняется ее роль в системах задач оптимизации. Установлено, что решение таких систем часто сводится к минимизации функции чувствительности на выпуклом множестве. Предлагаются численные методы решения таких задач, доказывается их сходимость. Библ. 20.

Ключевые слова: функция чувствительности, свойства функции чувствительности, многокритериальные выпуклые задачи оптимизации, сходимость численного алгоритма.

Англоязычная версия:
Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2011, 51 :12, 2000-2016

Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 519.658.4
Поступила в редакцию: 30.05.2011

Образец цитирования: А. С. Антипин, А. И. Голиков, Е. В. Хорошилова, “Функция чувствительности, ее свойства и приложения”, , 51 :12 (2011), 2126-2142 ; Comput. Math. Math. Phys. , 51 :12 (2011), 2000-2016

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{AntGolKho11}
\by А.~С.~Антипин, А.~И.~Голиков, Е.~В.~Хорошилова
\paper Функция чувствительности, ее свойства и приложения
\jour Ж. вычисл. матем. и матем. физ.
\yr 2011
\vol 51
\issue 12
\pages 2126--2142
\mathnet{http://mi.сайт/zvmmf9582}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2933399}
\transl
\jour Comput. Math. Math. Phys.
\yr 2011
\vol 51
\issue 12
\pages 2000--2016
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0965542511120049}
\isi{http://gateway.isiknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=PARTNER_APP&SrcAuth=LinksAMR&DestLinkType=FullRecord&DestApp=ALL_WOS&KeyUT=000298356400002}
\scopus{http://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-84055223604}

Образцы ссылок на эту страницу:

http://mi.сайт/zvmmf9582

http://mi.сайт/rus/zvmmf/v51/i12/p2126

ОТПРАВИТЬ:

Эта публикация цитируется в следующих статьяx:

Ю. Г. Евтушенко, М. А. Посыпкин, “Метод неравномерных покрытий для решения задач многокритериальной оптимизации с гарантированной точностью”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. , 53 :2 (2013), 209-224 ; Yu. G. Evtushenko, M. A. Posypkin, “Nonuniform covering method as applied to multicriteria optimization problems with guaranteed accuracy”, Comput. Math. Math. Phys. , 53 :2 (2013), 144-157
Э. М. Вихтенко, Н. Н. Максимова, Р. В. Намм, “Функционалы чувствительности в вариационных неравенствах механики и их приложение к схемам двойственности”, Сиб. журн. вычисл. матем. , 17 :1 (2014), 43-52 ; E. M. Vikhtenko, N. N. Maksimova, R. V. Namm, “A sensitivity functionals in variational inequalities of mechanics and their application to duality schemes”, Num. Anal. Appl. , 7 :1 (2014), 36-44
Ю. Г. Евтушенко, М. А. Посыпкин, “Метод неравномерных покрытий для решения задач многокритериальной оптимизации с заданной точностью”, Автомат. и телемех. , 2014, № 6, 49-68 ; Yu. G. Evtushenko, M. A. Posypkin, “Method of non-uniform coverages to solve the multicriteria optimization problems with guaranteed accuracy”, Autom. Remote Control , 75 :6 (2014), 1025-1040
А. В. Жильцов, Р. В. Намм, “Метод множителей Лагранжа в задаче конечномерного выпуклого программирования”, Дальневост. матем. журн. , 15 :1 (2015), 53-60