Понятие определителя является одним из основных в курсе линейной алгебры. Это понятие присуще ТОЛЬКО КВАДРАТНЫМ МАТРИЦАМ, этому понятию и посвящена данная статья. Здесь мы будем говорить об определителях матриц, элементами которых являются действительные (или комплексные) числа. В этом случае определитель есть действительное (или комплексное) число. Все дальнейшее изложение будет ответом на вопросы как вычислять определитель, и какими свойствами он обладает.

Сначала дадим определение определителя квадратной матрицы порядка n на n как сумму произведений перестановок элементов матрицы. На основании этого определения запишем формулы для вычисления определителей матриц первого, второго, третьего порядков и подробно разберем решения нескольких примеров.

Далее перейдем к свойствам определителя, которые будем формулировать в виде теорем без доказательства. Здесь будет получен метод вычисления определителя через его разложение по элементам какой-либо строки или столбца. Этот метод позволяет свести вычисление определителя матрицы порядка n на n к вычислению определителей матриц порядка 3 на 3 или меньшего. Обязательно покажем решения нескольких примеров.

В заключении остановимся на вычислении определителя методом Гаусса. Этот метод хорош при нахождении значений определителей матриц порядка выше 3 на 3 , так как требует меньших вычислительных усилий. Также разберем решение примеров.

Навигация по странице.

Определение определителя матрицы, вычисление определителя матрицы по определению.

Напомним несколько вспомогательных понятий.

Определение.

Перестановкой порядка n называется упорядоченный набор чисел, состоящий из n элементов.

Для множества, содержащего n элементов, существует n! (n факториал) перестановок порядка n . Перестановки отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.

Например, рассмотрим множество, состоящее из трех чисел: . Запишем все перестановки (всего их шесть, так как ):

Определение.

Инверсией в перестановке порядка n называется всякая пара индексов p и q , для которой p-ый элемент перестановки больше q-ого .

В предыдущем примере инверсией перестановки 4 , 9 , 7 является пара p=2 , q=3 , так как второй элемент перестановки равен 9 и он больше третьего, равного 7 . Инверсией перестановки 9 , 7 , 4 будут три пары: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1 , q=3 (9>4 ) и p=2 , q=3 (7>4 ).

Нас будет больше интересовать количество инверсий в перестановке, а не сама инверсия.

Пусть - квадратная матрица порядка n на n над полем действительных (или комплексных) чисел. Пусть – множество всех перестановок порядка n множества . Множество содержит n! перестановок. Обозначим k–ую перестановку множества как , а количество инверсий в k-ой перестановке как .

Определение.

Определитель матрицы А есть число, равное .

Опишем эту формулу словами. Определителем квадратной матрицы порядка n на n является сумма, содержащая n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А . Перед k-ым слагаемым появляется коэффициент (-1) , если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно.

Определитель матрицы А обычно обозначается как , также встречается обозначение det(A) . Также можно услышать, что определитель называют детерминантом.

Итак, .

Отсюда видно, что определителем матрицы первого порядка является элемент этой матрицы .

Вычисление определителя квадратной матрицы второго порядка - формула и пример.

порядка 2 на 2 в общем виде.

В этом случае n=2 , следовательно, n!=2!=2 .

.

Имеем

Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 2 на 2 , она имеет вид .

Пример.

порядка .

Решение.

В нашем примере . Применяем полученную формулу :

Вычисление определителя квадратной матрицы третьего порядка - формула и пример.

Найдем определитель квадратной матрицы порядка 3 на 3 в общем виде.

В этом случае n=3 , следовательно, n!=3!=6 .

Оформим в виде таблицы необходимые данные для применения формулы .

Имеем

Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3 , она имеет вид

Аналогично можно получить формулы для вычисления определителей матриц порядка 4 на 4 , 5 на 5 и более высоких. Они будут иметь очень громоздкий вид.

Пример.

Вычислите определитель квадратной матрицы порядка 3 на 3 .

Решение.

В нашем примере

Применяем полученную формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка:

Формулы для вычисления определителей квадратных матриц второго и третьего порядков очень часто применяются, так что рекомендуем их запомнить.

Свойства определителя матрицы, вычисление определителя матрицы с использованием свойств.

На основании озвученного определения справедливы следующие свойства определителя матрицы .

Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы А Т , то есть, .

Пример.

Убедитесь, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.

Решение.

Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3 :



Транспонируем матрицу А :


Вычислим определитель транспонированной матрицы:



Действительно, определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Если в квадратной матрице все элементы хотя бы одной из строк (одного из столбцов) нулевые, определитель такой матрицы равен нулю.

Пример.

Проверьте, что определитель матрицы порядка 3 на 3 равен нулю.

Решение.




Действительно, определитель матрицы с нулевым столбцом равен нулю.

Если переставить местами две любые строки (столбца) в квадратной матрице, то определитель полученной матрицы будет противоположен исходному (то есть, изменится знак).

Пример.

Даны две квадратные матрицы порядка 3 на 3 и . Покажите, что их определители противоположны.

Решение.

Матрица В получена из матрицы А заменой третьей строки на первую, а первой на третью. Согласно рассмотренному свойству определители таких матриц должны отличаться знаком. Проверим это, вычислив определители по известной формуле.



Действительно, .

Если в квадратной матрице хотя бы две строки (два столбца) одинаковы, то ее определитель равен нулю.

Пример.

Покажите, что определитель матрицы равен нулю.

Решение.

В данной матрице второй и третий столбцы одинаковы, так что согласно рассмотренному свойству ее определитель должен быть равен нулю. Проверим это.



На самом деле определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами есть ноль.

Если в квадратной матрице все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на некоторое число k , то определитель полученной матицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженному на k . Например,



Пример.

Докажите, что определитель матрицы равен утроенному определителю матрицы .

Решение.

Элементы первого столбца матрицы В получены из соответствующих элементов первого столбца матрицы А умножением на 3 . Тогда в силу рассмотренного свойства должно выполняться равенство . Проверим это, вычислив определители матриц А и В .



Следовательно, , что и требовалось доказать.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

Не путайте и не смешивайте понятия матрицы и определителя! Рассмотренное свойство определителя матрицы и операция умножения матрицы на число это далеко не одно и то же.
, но .

Если все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы представляют собой сумму s слагаемых (s – натуральное число, большее единицы), то определитель такой матрицы будет равен сумме s определителей матриц, полученных из исходной, если в качестве элементов строки (столбца) оставить по одному слагаемому. Например,


Пример.

Докажите, что определитель матрицы равен сумме определителей матриц .

Решение.

В нашем примере , поэтому в силу рассмотренного свойства определителя матрицы должно выполняться равенство . Проверим его, вычислив соответствующие определители матриц порядка 2 на 2 по формуле .


Из полученных результатов видно, что . На этом доказательство завершено.

Если к элементам некоторой строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число k , то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы.

Пример.

Убедитесь, что если к элементам третьего столбца матрицы прибавить соответствующие элементы второго столбца этой матрицы, умноженные на (-2) , и прибавить соответствующие элементы первого столбца матрицы, умноженные на произвольное действительное число , то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы.

Решение.

Если отталкиваться от рассмотренного свойства определителя, то определитель матрицы, полученной после всех указанных в задаче преобразований, будет равен определителю матрицы А .

Сначала вычислим определитель исходной матрицы А :



Теперь выполним необходимые преобразования матрицы А .

Прибавим к элементам третьего столбца матрицы соответствующие элементы второго столбца матрицы, предварительно умножив их на (-2) . После этого матрица примет вид:


К элементам третьего столбца полученной матрицы прибавим соответствующие элементы первого столбца, умноженные на :


Вычислим определитель полученной матрицы и убедимся, что он равен определителю матрицы А , то есть, -24 :



Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения .



Здесь - алгебраическое дополнение элемента матрицы , .

Это свойство позволяет вычислять определители матриц порядка выше чем 3 на 3 путем сведения их к сумме нескольких определителей матриц порядка на единицу ниже. Иными словами – это рекуррентная формула вычисления определителя квадратной матрицы любого порядка. Рекомендуем ее запомнить в силу достаточно частой применимости.

Разберем несколько примеров.

Пример.

порядка 4 на 4 , разложив его

• по элементам 3-ей строки,
• по элементам 2-ого столбца.

Решение.

Используем формулу разложения определителя по элементам 3-ей строки



Имеем



Так задача нахождения определителя матрицы порядка 4 на 4 свелась к вычислению трех определителей матриц порядка 3 на 3 :



Подставив полученные значения, приходим к результату:


Используем формулу разложения определителя по элементам 2-ого столбца


и действуем аналогично.

Не будем подробно расписывать вычисление определителей матриц третьего порядка.



Пример.

Вычислите определитель матрицы порядка 4 на 4 .

Решение.

Можно разложить определитель матрицы по элементам любого столбца или любой строки, однако выгоднее выбирать строку или столбец, содержащую наибольшее количество нулевых элементов, так как это поможет избежать лишних вычислений. Разложим определитель по элементам первой строки:



Вычислим полученные определители матриц порядка 3 на 3 по известной нам формуле:



Подставляем результаты и получаем искомое значение


Пример.

Вычислите определитель матрицы порядка 5 на 5 .

Решение.

В четвертой строке матрицы наибольшее количество нулевых элементов среди всех строк и столбцов, поэтому целесообразно разложить определитель матрицы именно по элементам четвертой строки, так как в этом случае нам потребуется меньше вычислений.



Полученные определители матриц порядка 4 на 4 были найдены в предыдущих примерах, так что воспользуемся готовыми результатами:



Пример.

Вычислите определитель матрицы порядка 7 на 7 .

Решение.

Не следует сразу бросаться раскладывать определитель по элементам какой либо строки или столбца. Если внимательно посмотреть на матрицу, то можно заметить, что элементы шестой строки матрицы можно получить умножением соответствующих элементов второй строки на двойку. То есть, если к элементам шестой строки прибавить соответствующие элементы второй строки, умноженные на (-2) , то определитель не изменится в силу седьмого свойства, а шестая строка полученной матрицы будет состоять из нулей. Определитель такой матрицы равен нулю по второму свойству.

Ответ:

Следует отметить, что рассмотренное свойство позволяет вычислить определители матриц любых порядков, однако приходится выполнять массу вычислительных операций. В большинстве случаев определитель матриц порядка выше третьего выгоднее находить методом Гаусса, который мы рассмотрим ниже.

Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.


Пример.

Покажите, что сумма произведений элементов третьего столбца матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов первого столбца равна нулю.

Решение.




Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению их определителей, то есть, , где m – натуральное число большее единицы, A k , k=1,2,…,m – квадратные матрицы одного порядка.

Пример.

Убедитесь, что определитель произведения двух матриц и равен произведению их определителей.

Решение.

Найдем сначала произведение определителей матриц А и В :


Сейчас выполним умножение матриц и вычислим определитель получившейся матрицы:



Таким образом, , что и требовалось показать.

Вычисление определителя матрицы методом Гаусса.

Опишем суть этого метода. Матрица А с помощью элементарных преобразований приводится к такому виду, чтобы в первом столбце все элементы, кроме стали нулевыми (это сделать всегда возможно, если определитель матрицы А отличен от нуля). Эту процедуру опишем чуть позже, а сейчас поясним, для чего это делается. Нулевые элементы получаются для того, чтобы получить самое простое разложение определителя по элементам первого столбца. После такого преобразования матрицы А , учитывая восьмое свойство и , получим

где - минор (n-1)-ого порядка , получающийся из матрицы А вычеркиванием элементов ее первой строки и первого столбца.

С матрицей, которой соответствует минор , проделывается такая же процедура получения нулевых элементов в первом столбце. И так далее до окончательного вычисления определителя.

Теперь осталось ответить на вопрос: «Как получать нулевые элементы в первом столбце»?

Опишем алгоритм действий.

Если , то к элементам первой строки матрицы прибавляются соответствующие элементы k-ой строки, в которой . (Если все без исключения элементы первого столбца матрицы А нулевые, то ее определитель равен нулю по второму свойству и не нужен никакой метод Гаусса). После такого преобразования «новый» элемент будет отличен от нуля. Определитель «новой» матрицы будет равен определителю исходной матрицы в силу седьмого свойства.

Теперь мы имеем матрицу, у которой . При к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на , к элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И так далее. В заключении к элементам n-ой строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на . Так будет получена преобразованная матрица А , все элементы первого столбца которой, кроме , будут нулевыми. Определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы в силу седьмого свойства.

Разберем метод при решении примера, так будет понятнее.

Пример.

Вычислить определитель матрицы порядка 5 на 5 .

Решение.

Воспользуемся методом Гаусса. Преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы ее первого столбца, кроме , стали нулевыми.

Так как изначально элемент , то прибавим к элементам первой строки матрицы соответствующие элементы, например, второй строки, так как :

Знак « ~ » означает эквивалентность.

Теперь прибавляем к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на , к элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на , и аналогично действуем вплоть до шестой строки:

Получаем

С матрицей проводим ту же процедуру получения нулевых элементов в первом столбце:

Следовательно,

Сейчас выполняем преобразования с матрицей :

Замечание.

На некотором этапе преобразования матрицы по методу Гаусса может возникнуть ситуация, когда все элементы нескольких последних строк матрицы станут нулевыми. Это будет говорить о равенстве определителя нулю.

Подведем итог.

Определителем квадратной матрицы, элементы которой есть числа, является число. Мы рассмотрели три способа вычисления определителя:

1. через сумму произведений сочетаний элементов матрицы;
2. через разложение определителя по элементам строки или столбца матрицы;
3. методом приведения матрицы к верхней треугольной (методом Гаусса).

Были получены формулы для вычисления определителей матриц порядка 2 на 2 и 3 на 3 .

Мы разобрали свойства определителя матрицы. Некоторые из них позволяют быстро понять, что определитель равен нулю.

При вычислении определителей матриц порядка выше 3 на 3 целесообразно использовать метод Гаусса: выполнить элементарные преобразования матрицы и привести ее к верхней треугольной. Определитель такой матрицы равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
или детерминант, - в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число ("значение" определителя). Очень часто под понятием "определитель" имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе. Открытие определителей приписывают японскому математику С. Кова (1683) и, независимо, Г. Лейбницу (1693). Современная теория восходит к работам Ж. Бине, О. Коши и К. Якоби в начале 19 в. Простейший определитель состоит из 4 чисел, называемых элементами и расположенных в виде 2-х строк и 2-х столбцов. О таком определителе говорят, что он 2-го порядка. Например, таков определитель

Значение которого равно 2*5 - 3*1 (т.е. 10 - 3 или 7). В общем случае определитель 2-го порядка принято записывать в виде

А его значение равно a1b2 - a2b1, где a и b - числа или функции. Определитель 3-го порядка состоит из 9 элементов, расположенных в виде 3-х строк и 3-х столбцов. В общем случае определитель n-го порядка состоит из n2 элементов, и обычно его записывают как

Первый индекс каждого элемента указывает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, поэтому aij - элемент i-й строки и j-го столбца. Часто такой определитель записывают в виде |aij|. Один из методов вычисления определителя, почти всегда используемый при вычислении определителей высокого порядка, состоит в разложении по "минорам". Минором, соответствующим любому элементу определителя, называется определитель меньшего на 1 порядка, получаемый из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Например, минором, соответствующим элементу a2 из определителя

"Алгебраическим дополнением" элемента называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если она нечетна. В приведенном выше примере элемент a2 состоит в 1-м столбце и во 2-й строке; сумма (1 + 2) нечетна, и поэтому алгебраическое дополнение элемента a2 равно его минору, взятому со знаком минус, т.е.

Значение определителя равно сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, определитель

разложенный по первому столбцу, имеет вид

а его разложение по второй строке, имеет вид

Вычислив каждый минор и умножив его на коэффициент, нетрудно убедиться в том, что оба выражения совпадают. Значение определителя. Под значением определителя

Принято понимать сумму всех произведений из n элементов, т.е.

В этой формуле суммирование ведется по всем перестановкам j1, ј, jn чисел 1, 2, ј, n и перед членом ставится знак плюс, если перестановка четна, и минус, если эта перестановка нечетна. Такая сумма насчитывает ровно n! членов, половина которых берется со знаком плюс, половина - со знаком минус. Каждый член суммы содержит по одному члену из каждого столбца и каждой строки определителя. Можно доказать, что эта сумма совпадает с выражением, получаемым при разложении определителя по минорам.
Свойства определителя. Среди наиболее важных свойств определителя назовем следующие. (i) Если все элементы любой строки (или любого столбца) равны нулю, то и значение определителя равно нулю:

(ii) Если элементы двух строк (или двух столбцов) равны или пропорциональны, то значение определителя равно нулю:

(iii) Значение определителя не изменится, если все его строки и столбцы поменять местами, т.е. записать первую строку в виде первого столбца, вторую строку - в виде второго столбца и т.д. (такая операция называется транспонированием). Например,

(iv) Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на произвольный множитель. В следующем примере элементы второй строки умножаются на -2 и прибавляются к элементам первой строки:

(v) Если поменять местами две строки (или два столбца), то определитель изменит знак:

(vi) Если все элементы одной строки (или одного столбца) содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя:

Пример. Вычислим значение следующего определителя 4-го порядка:

Прибавим к 1-й строке 4-ю строку:

Вычтем 1-й столбец из 4-го столбца:

Умножим 3-й столбец на 3 и вычтем из 4-го столбца:

Если угодно, то строки и столбцы можно поменять местами:

Разложим определитель по элементам четвертой строки. Три элемента этой строки равны нулю, ненулевой элемент стоит в третьем столбце, а поскольку сумма (3 + 4) нечетна, его алгебраическое дополнение имеет знак минус. В результате получаем:

Минор можно разложить по элементам третьей строки: два ее элемента равны нулю, а отличный от нуля элемент стоит в третьем столбце; сумма (3 + 3) четна, поэтому предыдущее равенство можно продолжить:

Применения. Решение системы уравнений

можно получить, если первое уравнение умножить на b2, второе - на b1, а затем вычесть одно уравнение из другого. Проделав эти операции, мы получим

Или, если

то

Такая запись решения с помощью определителей допускает обобщение на случай решения системы n линейных уравнений с n неизвестными; каждый определитель будет n-го порядка. Определителем системы линейных уравнений

будет

Заметим, что если D = 0, то уравнения либо несовместны, либо не являются независимыми. Поэтому предварительное вычисление определителя D позволяет проверить, разрешима ли система линейных уравнений.
Определители в аналитической геометрии. Общее уравнение конического сечения представимо в виде

Определитель

называется дискриминантом. Если D = 0, то кривая вырождается в пару параллельных или пересекающихся прямых либо в точку (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ). Другой пример: площадь треугольника A с вершинами в точках (обход - против часовой стрелки) (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) определяется выражением

Связь определителей с матрицами. Матрицей называется запись массива чисел в виде прямоугольной таблицы. Определители связаны с квадратными матрицами; например, определитель матрицы

Если A, B и С - квадратные матрицы и, то |A|*|B| = |C|.
См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ .
Якобиан. Если x = f (u, v), y = g (u, v) - преобразование координат, то определитель

Называется якобианом или определителем Якоби этого преобразования. Если J не равен 0 в некоторой точке, то в ее окрестности уравнения преобразования можно однозначно разрешить относительно u и v, представив их как функции от x и y.
См. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ .

Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .

Синонимы :

Смотреть что такое "ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ" в других словарях:

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, определителя, муж. (книжн.). 1. То, что определяет, выражает собою что нибудь. 2. Книга, служащая для справок при определении чего нибудь (научн.). Определитель растений. Определитель грибов. 3. Выражение, составляемое из… … Толковый словарь Ушакова

- (детерминант) составленное по определенному правилу из n2 чисел математическое выражение, применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений 1 й степени. Число n называется порядком определителя. Так, определитель 2 го порядка … Большой Энциклопедический словарь

Опознаватель, гессиан, минор, детерминант Словарь русских синонимов. определитель сущ., кол во синонимов: 10 автоопределитель (1) … Словарь синонимов

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ - (детерминант) составленное по определённому правилу из n2 чисел математическое выражение, применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений 1 й степени. Число п называется порядком определителя. Так, определитель 2 го порядка … Большая политехническая энциклопедия

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, я, муж. 1. Устройство для определения чего н., а также вообще то, с помощью чего можно что н. точно определить, установить. Телефон с определителем номера. О. ритма. 2. Книга для справок при определении чего н. (спец.). О. растений … Толковый словарь Ожегова

- (детерминант) квадратнойматрицы А = ||aij|| порядка n, detA многочлен … Физическая энциклопедия

определитель - — Тематики электросвязь, основные понятия EN determinant … Справочник технического переводчика

У этого термина существуют и другие значения, см. Определитель (значения). Определитель (или детерминант) одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у … Википедия

определитель - 3.4.6 определитель (auxiliary): Код вспомогательного класса УДК. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Я; м. 1. Книжн. То, чем определяется, обусловливается что л. Звук может быть определителем скорости. Главным определителем времени является движение Солнца в космическом пространстве. 2. Спец. Руководство (книга или таблица) для определения чего… … Энциклопедический словарь

Книги

• Определитель покрытосеменных древесных растений по плодам и семенам , Синицын Евгений Михайлович. Определитель состоит из двух частей. Первая часть представляет собой таблицу для определения родов, а вторая включает таблицы для определения видов покрытосеменных древесных растений по…

Пусть имеется квадратная матрица A размером n x n .
Определение. Определителем называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы A . Если в каждом таком произведении (члене определителя) множители расположены в порядке следования столбцов (т.е. вторые индексы элементов a ij в произведении расположены в порядке возрастания), то со знаком (+) берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов чётная, а со знаком (-) – те, ­ у которых она нечетная.
.
Здесь - число инверсий в перестановке индексов i 1 , i 2 , …, i n .

Методы нахождения определителей

1. Определитель матрицы разложением по строкам и столбцам через миноры.
2. Определитель методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса)

Свойство определителей

1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.
2. Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится.
3. Пусть C = AB где A и B квадратные матрицы. Тогда detC = detA ∙ detB .
4. Определитель с двумя одинаковыми строками или с двумя одинаковыми столбцами равен 0. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
5. Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен 0.
6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.
7. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором - вторые слагаемые.
9. Теорема Якоби: Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.

Таким образом, определитель матрицы остается без изменения, если:

• транспонировать матрицу;
• прибавить к какой-либо строке другую строку, умноженную на любое число.

Задание 1 . Вычислить определитель, разлагая его по строке или столбцу.
Решение :xls
Пример 1 :xls

Задание 2 . Вычислить определитель двумя способами: а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.

Решение .
а) Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

=

= 2 0 0 - 2 4 2 - (-1) 2 0 + (-1) 1 2 + (-2) 2 4 - (-2) 1 0 = -34
б) Запишем матрицу в виде:

A =

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

Главный определитель:
∆ = 2 (0 0-2 4)-(-1 (2 0-2 1))+(-2 (2 4-0 1)) = -34

Задание 3 . Укажите, чему равен определитель квадратной матрицы A четвертого порядка, если ее ранг r(A)=1.
Ответ: det(A) = 0.

Она поможет не только чайникам, но даже тем, кто впервые услышал слово «определитель». Минуло два года с тех пор, когда на сайте было всего десять страничек, и вот, после моего долгого-долгого путешествия в мир матана, всё возвращается на круги своя.

Представьте, что вам нужно вычислить определитель третьего порядка, разложив его по элементам строки (столбца). Хотя чего тут представлять – нужно же =) Над ним можно сидеть 5 минут, а можно 2-3 минуты. Или даже в районе одной минуты. Время, которое вы потратите, зависит не только от вашего опыта, но и от знаний свойств определителей. Не редкость, когда процесс решения вполне реально сократить до считанных секунд, а иногда и сразу увидеть результат! «Ерунда, чего экономить на спичках, и так всё решим», – скажут некоторые. Допустим. И не допустим оплошностей;-) Но как быть с достаточно распространённым на практике определителем 4-го порядка? Воевать с этим перцем придётся уже 10-20 минут. И это будет даже не бой, а бойня, поскольку очень велика вероятность вычислительной ошибки, которая «завернёт» вас на второй круг решения. А если определитель пятого порядка? Спасёт только понижение порядка определителя. Да, такие примеры тоже встречаются в контрольных работах.

Материалы данной страницы позволят значительно улучшить вашу технику решения определителей и упростят дальнейшее освоение высшей математики.

Эффективные методы вычисления определителя

В первую очередь коснёмся не свойств определителя, а как раз методов его рационального вычисления. Эти приёмы решения лежат на поверхности и понятны многим, но всё-таки остановимся на них подробнее. Предполагается, что читатель уже умеет достаточно уверенно раскрывать определитель третьего порядка. Как известно, данный определитель можно раскрыть 6 стандартными способами: по любой строке или любому столбцу. Казалось бы, без разницы, ведь ответ получится один и тот же. Но все ли способы одинаково легкИ? Нет. В большинстве случаев есть менее выгодные пути и более выгодные пути решения.

Рассмотрим определитель , который я обильно покрыл татуировками ещё на первом уроке. В той статье мы подробно, с картинками разложили его по первой строке. Первая строка – это хорошо и академично, однако нельзя ли быстрее достичь результата? В определителе есть ноль, и, раскрывая его по второй строке либо по второму столбцу, вычислений заметно поубавится!

Разложим определитель по второму столбцу:

На практике нулевые элементы игнорируются, и запись решения принимает более компактный вид:

Задание 1

Раскройте данный определитель по второй строке, используя укороченную запись.

Решение в конце урока.

Если в строке (либо столбце) два нуля, то это вообще настоящий подарок. Рассмотрим определитель . Здесь два нуля в третьей строке, по ней и раскрываем:

Вот и всё решение!

Особый случай, когда определитель имеет так называемый ступенчатый или треугольный вид , например: – в таком определителе все числа, расположенные ниже главной диагонали , равны нулю.

Разложим его по первому столбцу:

В практических заданиях удобно руководствоваться следующим правилом – ступенчатый определитель равен произведению чисел его главной диагонали :

Аналогичный принцип справедлив и для ступенчатых определителей других порядков, например:

Треугольные определители появляются в некоторых задачах линейной алгебры, и их решение чаще всего оформляют именно так.

А если в строке (столбце) определителя находятся одни нули ? Ответ, думаю, понятен. Мы ещё вернёмся к этому вопросу в свойствах определителя.

Теперь представим, что долгожданные баранки не положены в новогодний подарок. Так давайте же распотрошим нехорошего Санта-Клауса!

Здесь нет нулей, но всё равно существует способ облегчить себе жизнь. Данный определитель оптимальнее разложить по третьему столбцу, поскольку там самые маленькие числа. При этом запись решения принимает весьма лаконичный вид:

Резюмируя параграф, сформулируем золотое правило вычислений:

Определитель выгоднее раскрывать по ТОЙ строке (столбцу), где:

1) нулей побольше ;
2) числа поменьше .

Естественно, это справедливо и для определителей высших порядков.

Небольшой пример для закрепления материала:

Задание 2

Вычислить определитель, раскрыв его по строке либо столбцу, используя при этом наиболее рациональный способ

Это пример для самостоятельного решения, оптимальное решение и ответ – в конце урока.

И ещё один важный совет: не комплексуйте! Не нужно «зацикливаться» на традиционном разложении по первой строке либо первому столбцу. Как короче – так и решайте!

Свойства определителя

Рассмотрим старых знакомых первого урока: матрицу и её определитель .

На всякий случай повторю элементарное различие между понятиями: матрица – это таблица элементов , а определитель – это число .

При транспонировании матрицы величина её определителя не меняется

Транспонируем матрицу:

Согласно свойству, определитель транспонированной матрицы равен тому же значению: . Желающие могут убедиться в этом самостоятельно.

В ходу и более простецкая формулировка данного свойства: если транспонировать определитель, то его величина не изменится.

Запишем оба определителя рядышком и проанализируем один важный момент:

В результате транспонирования первая строка стала первым столбцом, вторая строка – вторым столбцом, третья строка – третьим столбцом. Строки стали столбцами, а результат не изменился. Из чего следует важный факт: строки и столбцы определителя равноправны . Иными словами, если какое-нибудь свойство справедливо для строки, то аналогичное свойство справедливо и для столбца! В действительности с этим мы уже давно столкнулись – ведь определитель можно раскрыть как по строке, так равноправно и по столбцу.

Не нравятся числа в строках? Транспонируйте определитель! Возникает только один вопрос, зачем? Практический смысл рассмотренного свойства невелик, но его полезно закинуть в багаж знаний, чтобы лучше понимать другие задачи высшей математики. Например, сразу становится ясно, почему при исследовании векторов на компланарность их координаты можно записать как в строки определителя, так и в столбцы.

Если две строки (или два столбца) определителя поменять местами,
то определитель сменит знак

! Помните , речь идёт об определителе! В самой матрице переставлять ничего нельзя!

Сыграем в кубик-рубик с определителем .

Поменяем первую и третью строку местами:

Определитель сменил знак.

Теперь в полученном определителе переставим вторую и третью строки:

Определитель ещё раз изменил знак.

Переставим второй и третий столбец:

То есть, любая парная перестановка строк (столбцов) влечёт изменение знака определителя на противоположный .

Игры играми, но на практике такие действия лучше не использовать . Толку от них особого нет, а вот запутаться и допустить ошибку несложно. Однако приведу одну из немногих ситуаций, когда в этом действительно есть смысл. Предположим, что в ходе решения некоторого примера у вас нарисовался определитель со знаком «минус»:

Раскроем его, скажем, по первой строке:

Очевидное неудобство состоит в том, что пришлось выполнять лишние реверансы – ставить большие скобки, а затем их раскрывать (кстати, крайне не рекомендую выполнять подобные действия «за один присест» устно).

Чтобы избавиться от «минуса», рациональнее поменять местами любые две строки или любые два столбца. Переставим, например, первую и вторую строки:

Выглядит стильно, но в большинстве случаев с отрицательным знаком целесообразнее разбираться другим способом (читайте дальше).

Рассмотренное действие опять же помогает лучше понять, например, некоторые свойства векторного произведения векторов или смешанного произведения векторов.

А вот это уже более интересно:

Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель

!!! Внимание! В правиле речь идёт об ОДНОЙ строке или об ОДНОМ столбце определителя. Пожалуйста, не путайте с матрицами , в матрице множитель выносится/вносится у ВСЕХ чисел сразу.

Начнём с частного случая правила – вынесения «минус единицы» или просто «минуса».

Встречаем очередного пациента: .

В данном определителе слишком много минусов и неплохо бы сократить их количество.

Вынесем –1 из первой строки:

Или короче:

Минус перед определителем, как уже демонстрировалось – не есть удобно. Смотрим на вторую строку определителя и замечаем, что минусов там тоже многовато.

Вынесем «минус» из второй строки:

Что можно сделать ещё? Все числа второго столбца делятся на 4 без остатка. Вынесем 4 из второго столбца:

Справедливо и обратное правило – множитель можно не только вынести, но и внести , причём, в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец определителя.

Ради шутки умножим на 4 третью строку определителя:

Дотошные умы могут убедиться в равенстве исходного и полученного определителей (верный ответ: –216).

На практике часто выполняют внесение минуса. Рассмотрим определитель . Отрицательный знак перед определителем можно внести в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец. Самым лучшим кандидатом является третий столбец, в него и внесём минус:

Также замечаем, что все числа первого столбца делятся на 2 без остатка, но стОит ли выносить «двойку»? Если вы собираетесь понижать порядок определителя (о чём пойдет речь в заключительном разделе), то, безусловно, стОит. Но если раскрывать определитель по строке (столбцу), то «двойка» впереди только удлинит запись решения.

Однако если множитель велик, например, 13, 17 и т.п., то его, конечно, по-любому выгоднее вынести. Познакомимся с маленьким монстром: . Из первой строки вынесем –11, из второй строки вынесем –7:

Вы скажете, вычисления и так быстро щёлкаются на обычном калькуляторе? Это правда. Но, во-первых, его может не оказаться под рукой, а во-вторых, если дан определитель 3-го или 4-го порядка с большими числами, то и стучать по кнопкам уже не сильно захочется.

Задание 3

Вычислить определитель с помощью вынесения множителей из строк и столбцов

Это пример для самостоятельного решения.

Ещё пара полезных правил:

Если две строки (столбца) определителя пропорциональны
(как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен нулю

Здесь пропорциональны соответствующие элементы первой и второй строки:

Иногда говорят, что строки определителя линейно зависимы . Так как при транспонировании величина определителя не меняется, то из линейной зависимости строк следует и линейная зависимость столбцов.

В пример можно вложить геометрический смысл – если считать, что в строках записаны координаты векторов пространства, то первые два вектора с пропорциональными координатами будут коллинеарны, а значит, все три вектора – линейно зависимы , то есть компланарны.

В следующем примере пропорциональны три столбца (и, к слову, три строки тоже):

Здесь второй и третий столбец одинаковы, это частный случай – когда коэффициент пропорциональности равен единице

Перечисленные свойства вполне можно использовать на практике. Но помните, повышенный уровень знаний иногда наказуем;-) Поэтому, возможно, лучше раскрывать такие определители обычным способом (зная наперёд, что получится ноль).

Следует отметить, что обратное в общем случае неверно – если определитель равен нулю, то из этого ещё не следует , что его строки (столбцы) пропорциональны. То есть линейная зависимость строк/столбцов может быть и не явной.

Существуют и более очевидный признак, когда сразу можно сказать, что определитель нулевой:

Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю

«Любительская» проверка элементарна, раскроем определитель по первому столбцу:

Впрочем, результат не изменится, если раскрыть определитель по любой строке или любому столбцу.

Выжимаем второй стакан апельсинового сока:

Какие свойства определителей полезно знать?

1) Величина определителя не меняется при транспонировании . Свойство запоминаем.

2) Любая парная перестановка строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный . Свойство тоже запоминаем и стараемся не использовать во избежание путаницы.

3) Из строки (столбца) определителя можно вынести множитель (и внести его обратно) . Используем там, где это выгодно.

4) Если строки (столбцы) определителя пропорциональны, то он равен нулю. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

На протяжении урока неоднократно наблюдалась элементарная закономерность – чем больше в строке (столбце) нулей, тем легче вычислить определитель. Возникает вопрос, а нельзя ли нули организовать специально с помощью какого-нибудь преобразования? Можно! Познакомимся ещё с одним очень мощным свойством:

Понижение порядка определителя

Очень хорошо, если вы уже разобрались с методом Гаусса и имеете опыт решения систем линейных уравнений этим способом. Фактически сформулированное ниже свойство дублирует одно из элементарных преобразований .

Чтобы нагулять аппетит раздавим маленького лягушонка:

К строке определителя можно прибавить другую строку, умноженную на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится

Пример: в определителе получим ноль слева вверху.

Для этого вторую строку мысленно либо на черновике умножим на 3: (–3, 6) и к первой строке прибавим вторую строку, умноженную на 3 :

Результат записываем в первую строку :

Проверка:

Теперь в том же определителе получим ноль справа внизу. Для этого ко второй строке прибавим первую строку, умноженную (мысленно) на –2 ):

Результат записываем во вторую строку :

Обратите внимание : при элементарном преобразовании меняется ТА строка, к которой прибавляЮТ .

Сформулируем зеркальное правило для столбцов:

К столбцу определителя можно прибавить другой столбец, умноженный на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится

Возьмём за лапки животное и, используя данное преобразование, получим ноль слева вверху. Для этого мысленно либо на черновике умножим второй столбец на –3: и к первому столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –3 :

Результат запишем в первый столбец :

И, наконец, в определителе получим ноль справа внизу. Для этого ко второму столбцу прибавим первый столбец, умноженный (мысленно) на 2 (смотрим и считаем справа налево ):

Результат помещаем во второй столбец :

При элементарном преобразовании меняется ТОТ столбец, к которому прибавляЮТ .

Постарайтесь качественно переварить нижеследующий пример.

Отправим в суп подросшее земноводное:

Задача состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований понизить порядок определителя до второго порядка.

С чего начать? Сначала в определителе нужно выбрать число-«мишень». В качестве «мишени» почти всегда выступает единица либо –1. Смотрим на определитель и замечаем, что здесь даже выбор есть. Пусть числом-«мишенью» будет элемент :

Примечание : смысл двойных подстрочных индексов можно узнать в статье Правило Крамера. Матричный метод . В данном случае индексы элемента говорят нам о том, что он располагается во второй строке, третьем столбце.

Идея состоит в том, чтобы получить два нуля в третьем столбце:

Либо получить два нуля во второй строке:

Во второй строке числа поменьше (не забываем золотое правило), поэтому выгоднее взять именно её. А третий столбец с числом-«мишенью» останется неизменным:

Ко второму столбцу прибавляем третий столбец :

Тут и умножать ничего не пришлось.

Результат записываем во второй столбец:

К первому столбцу прибавляем третий столбец, умноженный (мысленно) на –2 :

Результат записываем в первый столбец, раскладываем определитель по второй строке:

Как мы понизили порядок определителя? Получили два нуля во второй строке.

Решим пример вторым способом, организуем нули в третьем столбце:

Вторая строка с числом-«мишенью» останется неизменной:

К первой строке прибавим вторую строку, умноженную (мысленно) на –4:

К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную (мысленно) на 3 (смотрим и считаем снизу вверх) :

Результат записываем в третью строку, определитель раскрываем по третьему столбцу:

Заметьте, что нет никакой необходимости переставлять строки или столбцы . Элементарные преобразования прекрасно работают как слева направо, так и справа налево. Как сверху вниз, так и снизу вверх.

Задание 4

Вычислить тот же определитель , выбрав в качестве числа-«мишени» элемент . Понизить его порядок двумя способами: получив нули во второй строке и получив нули во втором столбце.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и краткие комментарии в конце урока.

Иногда в определителе отсутствует единица либо –1, например: . В этом случае «мишень» следует организовать с помощью дополнительного элементарного преобразования. Сделать это можно чаще всего несколькими способами. Например: к первой строке прибавим вторую строку, умноженную –1:

Результат записываем в первую строку:

! Внимание : НЕ НУЖНО из первой строки вычитать вторую строку, это значительно увеличивает вероятность ошибки. Только складываем! Поэтому к первой строке прибавляем вторую строку, умноженную –1. Именно так!

Единица получена, чего и требовалось достичь. Далее можно получить два нуля в первой строке либо в первом столбце. Желающие могут довести решение до конца (верный ответ: –176).

Стоит отметить, что готовая «мишень» чаще всего присутствует в исходном определителе, а уж для определителя 4-го порядка и выше дополнительное преобразование крайне маловероятно.

Порубим на гуляш несколько крупных жаб:

Задача

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

Ничего страшного, если вы ещё не успели ознакомиться с методом Крамера , в этом случае можно просто посмотреть, как понижается порядок у определителя «четыре на четыре». Да и само правило станет понятно, если чуть-чуть вникнуть в ход решения.

Решение : сначала вычислим главный определитель системы:

Есть возможность пойти стандартным путём, разложив данный определитель по строке либо столбцу. Вспоминая алгоритм первого урока, и, используя придуманную мной матрицу знаков , раскроем определитель, например, по «классической» первой строке:

Не вижу вашего энтузиазма =) Безусловно, можно посидеть минут десять и аккуратно-внимательно родить правильный ответ. Но беда в том, что в дальнейшем предстоит вычислить ещё 4 определителя четвёртого порядка. Поэтому единственный разумный выход – понизить порядок определителя.

Единиц в определителе много, и наша задача выбрать лучший вариант. Вспоминаем золотое правило: в строке (столбце) нулей должно быть побольше, и числа – поменьше. По этой причине вполне подходит вторая строка либо четвёртый столбец. Четвёртый столбец выглядит привлекательнее, причём, там есть две единицы. В качестве «мишени» выбираем элемент :

Первая строка не изменится. И вторая тоже – там уже необходимый ноль:

К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на –1 (смотрим и считаем снизу вверх ):

! Внимание ещё раз : Не нужно из третьей строки вычитать первую строку. Только складываем!

Результат записываем в третью строку:

К четвёртой строке прибавим первую строку, умноженную на 3 (смотрим и считаем снизу вверх ):

Результат записываем в четвёртую строку:

(1) Раскрываем определитель по четвёртому столбцу. Не забываем, что к элементу нужно добавить «минус» (см. матрицу знаков).

(2) Порядок определителя понижен до 3-го. В принципе, его можно разложить по строке (столбцу), но лучше отработаем свойства определителя. Вносим минус во вторую строку.

(3) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 7.

(4) Раскрываем определитель по второму столбцу, тем самым ещё понижая его порядок до двух.

Заметьте, как сократилось решение! Главное, немного «набить руку» на элементарных преобразованиях, и такая возможность представится прямо сейчас. К тому же в вашем распоряжении есть калькулятор, который считает определители (в частности, его можно найти на странице Математические формулы и таблицы ). С помощью калькулятора легко контролировать выполняемые действия. Получили определитель на первом шаге – и сразу проверили, равен ли он исходному определителю.

(1) Раскрываем определитель по третьей строке. Порядок определителя понижен до трёх.

(2) Вносим «минус» в первый столбец.

(3) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 5.

(4) Раскрываем определитель по второму столбцу, понижая порядок определителя до двух.

Замечательный получается у нас комплексный обед, и пришло время десерта:

Это уже даже не жаба, это сам Годзилла. Возьмём заготовленный стакан апельсинового сока и посмотрим, как понижается порядок определителя. Алгоритм, думаю, понятен: с пятого порядка понижаем до четвёртого, с четвёртого – до третьего и с третьего – до второго:

(1) К первой, третьей, четвертой и пятой строкам прибавим вторую строку.

(2) Раскрываем определитель по 3-му столбцу. Порядок определителя понизился до четырёх.

(3) Из 4-го столбца выносим 2. Первую строку умножаем на –1, и чтобы определитель не изменился, ставим перед ним «минус». Данное преобразование выполнено в целях упростить дальнейшие вычисления.

(4) Ко второй и третьей строкам прибавим первую строку. К четвертой строке прибавим первую строку, умноженную на 3.

(5) Раскрываем определитель по 4-му столбцу. Порядок понижен до трёх.

(6) Раскрываем определитель по 2-му столбцу. Порядок понижен до двух.

(7) Выносим «минус» из 1-го столбца.

Всё вышло проще, чем казалось, у всех монстров есть слабые места!

Неутомимые читатели могут попробовать решить определитель пятого порядка каким-нибудь другим способом, благо, единиц в нём тьма.

К первому столбцу прибавили второй столбец, умноженный на 2. К третьему столбцу прибавили второй столбец. Определитель раскрыли по второй строке.

Понизим порядок определителя, получив нули во втором столбце:

К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2. Определитель раскрыли по второму столбцу.

Задание 5: Решение :


(1) К первой строке прибавим третью строку, умноженную на 3. Ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на 5. К 4-й строке прибавим третью строку, умноженную на 2.
(2) Раскрываем определитель по первому столбцу.
(3) Ко второму столбцу прибавим третий столбец, умноженный на 9. К первому столбцу прибавим третий столбец.
(4) Раскрываем определитель по третьей строке.

(1) К первому столбцу прибавим второй столбец. К третьему столбцу прибавим второй столбец
(2) Раскрываем определитель по третьей строке.
(3) Вносим «минус» в первую строку.
(4) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 6. К третьей строке прибавим первую строку
(5) Раскрываем определитель по первому столбцу.

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы . Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей , он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения : Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два» :

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 - нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу .
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке .
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ . Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке , очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу :

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя .

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ!